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Als SIS-Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie.

• Voraussetzungen

• Differentialgleichungen des SIS-Modells

• Lösungen der Differentialgleichung

• Analyse der DGLs durch dimensionslose Größen

• Abgrenzungen zu weiteren Modellen

• Siehe auch

• Literatur

Beim SIS-Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden: Zum Zeitpunkt t {\displaystyle t} bezeichnet S ( t ) {\displaystyle S(t)} die Anzahl der Gesunden (susceptible individuals) und I ( t ) {\displaystyle I(t)} die Zahl der Infizierten (infectious individuals). Weiterhin sei N {\displaystyle N} die Gesamtzahl der Individuen. Das SIS-Modell kann dann für Krankheiten verwendet werden, die folgende Eigenschaften aufweisen:

• Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden.

• Infizierte sind sofort ansteckend.

• Gesunde erkranken mit der linearen Rate c {\displaystyle c} .

• Infizierte genesen mit der linearen Rate ω ω {\displaystyle \omega } .

• Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhänge.

• Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich, also S ( t ) , I ( t ) ∈ ∈ [ 0 , ∞ ∞ ) {\displaystyle S(t),I(t)\in [0,\infty )} .

Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert:

d S d t = − − c I S + ω ω I d I d t = c I S − − ω ω I . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}&=-cIS+\omega I\\{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}&=cIS-\omega I.\end{aligned}}} Aus den Gleichungen folgt die Erhaltung der Populationsgröße:

d N d t = d I d t + d S d t = 0 ⇒ ⇒ N = I ( t ) + S ( t ) = const. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=0\Rightarrow N=I(t)+S(t)={\text{const.}}}

Wegen S ( t ) = N − − I ( t ) {\displaystyle S(t)=N-I(t)} lässt sich das SIS-Modell vollständig durch

d I d t = c I ( N − − I ) − − ω ω I = ( c N − − ω ω ) I − − c I 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=cI(N-I)-\omega I=(cN-\omega )I-cI^{2}} beschreiben. Definiere A = c N − − ω ω {\displaystyle A=cN-\omega } , wodurch sich die DGL als d I d t = ( A − − c I ) I {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=(A-cI)I} schreiben lässt.

Durch Trennung der Variablen folgt: d I ( A − − c I ) I = d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{(A-cI)I}}=\mathrm {d} t} , woraus durch eine einfache Partialbruchzerlegung und Integration die Funktion I ( t ) {\displaystyle I(t)} mit der Anfangsbedingung I ( 0 ) = I 0 > 0 {\displaystyle I(0)=I_{0}>0} folgt: I ( t ) = A I 0 e A t A + c I 0 ( e A t − − 1 ) . {\displaystyle I(t)={\frac {AI_{0}e^{At}}{A+cI_{0}\left(e^{At}-1\right)}}.} Die Zahl der Gesunden S ( t ) {\displaystyle S(t)} folgt durch S ( t ) = N − − I ( t ) {\displaystyle S(t)=N-I(t)} aus der Lösung für I ( t ) {\displaystyle I(t)} .

Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über: u 1 := S N , u 2 := I N , θ θ = ω ω t , r := c N ω ω {\displaystyle u_{1}:={\frac {S}{N}},u_{2}:={\frac {I}{N}},\theta =\omega t,r:={\frac {cN}{\omega }}} d u 1 d θ θ = − − r u 1 u 2 + u 2 d u 2 d θ θ = r u 1 u 2 − − u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{d\theta }}&=-ru_{1}u_{2}+u_{2}\\{\frac {du_{2}}{d\theta }}&=ru_{1}u_{2}-u_{2}\end{aligned}}}

Die Änderung d u 2 d θ θ {\displaystyle {\frac {du_{2}}{d\theta }}} kann nach oben abgeschätzt werden durch: d u 2 d θ θ = r u 2 − − u 2 = ( r − − 1 ) u 2 {\displaystyle {\frac {du_{2}}{d\theta }}=ru_{2}-u_{2}=(r-1)u_{2}} .

Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt ( 1 r , 1 − − 1 r ) {\displaystyle ({\frac {1}{r}},1-{\frac {1}{r}})} angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

Neben dem SIS-Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das sind insbesondere die folgenden:

• Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.

• Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.

• SI-Modell (Ansteckung ohne Gesundung)

• SIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung)

• SEIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind)

• Basisreproduktionszahl

• Dynamisches System (mathematischer Oberbegriff)

• Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer

• Sebastian Möhler: Ausbreitung von Infektionskrankheiten. (tu-Freiburg [PDF; abgerufen am 12. März 2020]).